TD 4 - Test de comparaison de moyenne

Exercice 1 : Le compas dans l’œil

A l’œil, sans l’aide d’une règle et indépendamment de vos voisins, évaluer la longueur du segment AK (si votre nom commence par une lettre entre A et K) ou du segment LZ à la fin de l’exercice (si votre nom commence par une lettre entre L et Z).

Une fois toutes les données recueillies dans votre tableur préféré, considérons deux groupes : les évalua-tions faites pour la longueur AK et celle faite pour la longueur LZ. On suppose que la longueur AK suit une loi normale d’espérance \(\mu_1\) et de variance \(\sigma_2\) et que la longueur LZ suit une loi normale d’espérance \(\mu_2\) et de variance \(\sigma_2\).

Saisir les données, les sauvegarder dans un fichier longueur.csv puis les importer dans un objet dta de R. On cherche dans un premier temps à savoir si, en moyenne, l’évaluation de la longueur AK est non biaisée.

  • Exprimer la problématique ci-dessus sous la forme d’un test d’hypothèses

  • Dans cette problématique de test, quel est l’échantillon et quelle est la population ?

  • A l’aide des données recueillies, mettre en œuvre le test avec un niveau de confiance de 95 %.

Pour le segment LZ, tester si, en moyenne, il est évalué justement ou sous-estimé (préciser \(H_0\) et \(H_1\) avant de construire le test sous R).

  • On souhaite maintenant tester l’égalité des moyennes entre AK et LZ

Exercice 2 : Le carbone organique dissout

On reprend les données sur le carbone organique dissout. On s’intéresse dans un premier temps au percen-tile 90 du carbone organique dissout. Reprendre les lignes de code permettant d’importer le jeu de données :

  position     COD_p90      distance_source       alti        
 Amont:49   Min.   :2.251   Min.   :  3244   Min.   : -0.151  
 Aval :12   1st Qu.:4.250   1st Qu.: 13808   1st Qu.:  9.358  
            Median :4.891   Median : 20873   Median : 23.942  
            Mean   :4.964   Mean   : 29362   Mean   : 46.885  
            3rd Qu.:5.657   3rd Qu.: 31889   3rd Qu.: 70.032  
            Max.   :7.862   Max.   :152577   Max.   :208.761  
  taille_cours_d_eau               region     debit_p10      
 grand     : 3       bassin_parisien  :25   Min.   :0.00100  
 moyen     : 7       massif_armoricain:36   1st Qu.:0.08814  
 petit     :27                              Median :0.25072  
 tres petit:24                              Mean   :0.70139  
                                            3rd Qu.:0.60273  
                                            Max.   :6.55321  
   debit_moy           debit_p90            carb_urb          carb_ind       
 Min.   : 0.002509   Min.   : 0.004968   Min.   :   0.00   Min.   :  0.0000  
 1st Qu.: 0.421094   1st Qu.: 1.022102   1st Qu.:  22.11   1st Qu.:  0.0000  
 Median : 0.911269   Median : 1.921737   Median :  55.16   Median :  0.2362  
 Mean   : 2.211609   Mean   : 4.616459   Mean   : 131.07   Mean   : 23.4740  
 3rd Qu.: 2.103540   3rd Qu.: 4.113298   3rd Qu.: 124.69   3rd Qu.: 18.9119  
 Max.   :19.197424   Max.   :47.614452   Max.   :1311.97   Max.   :181.1694  
   carb_elev         carb_sols           sup_bv           foret        
 Min.   :  17.88   Min.   :   19.7   Min.   :   7.0   Min.   :0.00000  
 1st Qu.:  92.76   1st Qu.:  203.5   1st Qu.:  54.0   1st Qu.:0.02616  
 Median : 196.19   Median :  374.3   Median :  93.0   Median :0.04071  
 Mean   : 502.60   Mean   : 1013.6   Mean   : 228.9   Mean   :0.05744  
 3rd Qu.: 466.34   3rd Qu.:  888.1   3rd Qu.: 182.5   3rd Qu.:0.07543  
 Max.   :3949.52   Max.   :10721.0   Max.   :2538.5   Max.   :0.18522  
    prairie           culture           urbain             divers       
 Min.   :0.04413   Min.   :0.1069   Min.   :0.000000   Min.   :0.00000  
 1st Qu.:0.40979   1st Qu.:0.2971   1st Qu.:0.006832   1st Qu.:0.01074  
 Median :0.48472   Median :0.4020   Median :0.010267   Median :0.01779  
 Mean   :0.49599   Mean   :0.4080   Mean   :0.014396   Mean   :0.02431  
 3rd Qu.:0.59108   3rd Qu.:0.5001   3rd Qu.:0.017098   3rd Qu.:0.03026  
 Max.   :0.85017   Max.   :0.8755   Max.   :0.077571   Max.   :0.12171  
     d_pop           d_betail         Ptot_p90          NO3_p90      
 Min.   :  0.00   Min.   : 29.45   Min.   :0.04006   Min.   : 8.932  
 1st Qu.: 36.61   1st Qu.: 80.02   1st Qu.:0.09766   1st Qu.:17.719  
 Median : 51.03   Median :123.56   Median :0.11854   Median :25.074  
 Mean   : 67.75   Mean   :131.19   Mean   :0.13435   Mean   :26.813  
 3rd Qu.: 73.08   3rd Qu.:163.43   3rd Qu.:0.14456   3rd Qu.:35.617  
 Max.   :336.43   Max.   :311.55   Max.   :0.44355   Max.   :68.305  
    DBO_p90         NH4_p90           MES_p90        conduct._p90  
 Min.   :1.363   Min.   :0.04523   Min.   : 12.59   Min.   :137.7  
 1st Qu.:1.823   1st Qu.:0.06802   1st Qu.: 29.08   1st Qu.:268.3  
 Median :1.989   Median :0.07959   Median : 37.76   Median :315.9  
 Mean   :1.997   Mean   :0.12068   Mean   : 39.45   Mean   :412.4  
 3rd Qu.:2.050   3rd Qu.:0.11121   3rd Qu.: 44.68   3rd Qu.:584.9  
 Max.   :3.359   Max.   :1.20983   Max.   :121.02   Max.   :823.5

On s’intéresse maintenant au phosphore total (Ptot_P90). Dans un premier temps, on s’intéresse aux données du bassin parisien uniquement. Pour cela, on filtre les données et on construire un objet dta_bassin qui contient uniquement les stations du bassin parisien.

  1. Donner l’intervalle de confiance du carbone organique dissout. A quoi cet intervalle correspond-il ?

  2. Peut-on considérer que les moyennes des COD sont égales dans les deux régions ?

On s’intéresse maintenant au phosphore total (Ptot_P90). Dans un premier temps, on s’intéresse aux données du bassin parisien uniquement. Pour cela, on filtre les données et on construire un objet dta_bassin qui contient uniquement les stations du bassin parisien.

  1. Construire l’intervalle de confiance du phosphore total pour les stations du bassin parisien.
  2. Construire maintenant l’intervalle de confiance du phosphore total pour les stations du massif armoricain uni-quement.
  3. Peut-on considérer que la moyenne du phosphore total est plus grande dans le bassin parisien que dans le massif armoricain ?
  4. Comparez les largeurs des deux intervalles de confiance (bassin parisien vs massif armoricain). Quelle(s) raison(s) peux/peuvent expliquer la différence de largeur ?